Особенности применения математической теории при принятии управленческих решений

Замечание 1

Методы, которые основы на использовании средств математики, позволяют принимать управленческие решения , поддающиеся формализации или полному описанию взаимосвязи и взаимозависимости их условий, факторов и результатов.

Использование математической теории характерно для принятия тактических и частично оперативных решений.

Применение математической теории эффективно при наличии ряда параметров управленческого решения:

• заранее четко известна цель или критерий оптимизации;
• очевидны главные ограничения - условия достижения данной цели;
• управленческая проблема хорошо структурирована.

Алгоритм математической теории

Особенность математической теории обоснования управленческих решений заключается в наличие в ней определенного алгоритма, который точно предписывает выполнять некую систему операций в установленной последовательности для решения определенного класса задач.

Алгоритм математической теории принятия управленческих решений должен соответствовать ряду требований:

• определенность, т.е. точность и однозначность, не оставляющие места для произвола;
• массовость и универсальность - применимость для решения конкретного класса задач, когда первоначальные данные варьируются в известных границах;
• результативность, т.е. возможность решения установленной задачи за ограниченное число операции.

Математические методы принятия управленческих решений

Основными методами решения типовых управленческих задач в рамках математической теории являются:

1. Метод математического анализа используется при расчетах для обоснования потребностей в ресурсах, учете себестоимости, разработки проектов и т. д.
2. Метод математической статистики удобно использовать, когда изменение исследуемых показателей является случайным процессом.
3. Эконометрический метод предполагает использование экономической модели - схематического представления экономического процесса или явления.
4. Линейное программирование - решение системы уравнений, когда имеется строго функциональная зависимость между исследуемыми явлениями.
5. Динамическое программирование используется для решения оптимизационных задач, где ограничения или целевая функция имеют нелинейную зависимость.
6. Теория очередей используется для поиска оптимального количества каналов обслуживания при заданном уровне потребности в них. Примером такой ситуации является выбор оптимального варианта организации работы с клиентами, чтобы время обслуживания было минимально, а качество – высоко без дополнительных затрат.
7. Метод исследования операций - использование математических вероятностных моделей, которые представляют исследуемый процесс, вид деятельности или систему. Оптимизация сводится к сравнительному исследованию числовых оценок тех параметров, которые нельзя оценить обычными методами.
8. Ситуационный анализ – это комплексная технология принятия и реализации управленческого решения, которая основана на проведении анализа отдельной управленческой ситуации. Такой анализ отталкивается от конкретной ситуации, проблемы, возникающей в деятельности организации, которая требует принятия управленческого решения.
9. Методы теории игр - моделирование ситуации, в которой при обосновании решений необходимо учитывать конфликт или несовпадение интересов различных лиц.
10. Точки безубыточности - метод, в котором общие доходы уравниваются с суммарными расходами для поиска точки, приносящей предприятию минимальную прибыль.
11. Проецирование тренда - анализ временных рядов, основанный на допущении, что произошедшее в прошлом дает хорошее приближение в случае оценке будущего. Этот метод используется для выявления тенденций прошлого и их продления на будущее.

Из различных методов принятия экономических решений можно выделить наиболее распространенные: математическое программирование; теория игр; теория статистических решений; теория массового обслуживания; метод причинно-следственного анализа; использование модели

Математическое программирование представляет собой теоретические принципы и аналитические методы решения задач, в которых происходит поиск экстремума (минимум или максимум) определенной функции при наличии ограничений, налагаемых на неизвестные. Особое место в математическом программировании занимает линейное программирование, которое наиболее разработанное и широко применяется на практике. Линейное программирование включает аналитические методы решения таких задач, в которых целевая функция и ограничения выражены в линейной форме, то есть неизвестные входящих в целевой функции и ограничения должны первая ступень. Задачи, в которых отыскиваются максимальное и минимальное значение линейной функции при линейных ограничениях, называются задачами линейного программирования.

В зависимости от вида целевой функции и системы ограничений методы математического программирования делят на

линейное программирование - целевая функция и функции ограничений, входящих в систему ограничений являются линейными (уравнение первого порядка)

нелинейное программирование - целевая функция или одна из функций ограничений, входящих в систему ограничений являются нелинейными (уравнение высших порядков)

Целочисленное (дискретное) программирования - если хотя бы одну переменную наложен условие целочисленности;

динамическое программирование - если параметры целевой функции и / или система ограничений меняются во времени или целевая функция имеет аддитивный / мулиишгикативний вид или сам процесс принятия решения масс многошаговый характер.

В зависимости от сведения информация о процессе заранее, в методы математического программирования делят на

Стохастическое программирование - известна не вся информация о процессе заранее: параметры входящих в целевую функцию или в функцию ограничений являются случайными или приходится принимать решения в условиях риска

Детерминировано программирования - известна вся информация о процессе заранее.

В зависимости от количества целевых функций задачи делятся на:

Однокритериальной;

Багатокритериапьни.

Линейное программирование объединяет теорию и методы решения класса задач, в которых определяется совокупность значений переменных величин, которые удовлетворяют заданным линейным ограничением и максимизируя (или минимизирующая) некоторую линейную функцию. То есть, задачами линейного программирования являются такие оптимизационные задачи, в которых целевая функция и функциональные ограничения - линейные функции, принимают любые значения из некоторого множества значений.

Для задач линейного программирования разработаны многочисленные методы решения и соответствующее математическое обеспечение для различных ситуаций. Для решения задач линейного программирования используется несколько методов, среди которых наиболее распространенными являются симплекс-метод и графический метод.

Наиболее удобный метод для решения подобных задач является симплекс метод, который позволяет отталкиваясь от исходного варианта решения задач, за определенное количество шагов получить оптимальный вариант. Каждый из этих шагов (итераций) заключается в нахождении нового варианта, которому соответствует наибольшее (при решении задач на максимум) или меньше (при решении задач на минимум) значения линейной функции, чем значение этой же функции в предыдущем варианте. Процесс повторяется пока не будет получено оптимальный вариант решения, которое имеет экстремальное значение.

Таким образом, можно считать, что оптимальным является план, который обеспечивает максимальный производственной эффект при заданном объеме материальных, сырьевых, трудовых ресурсов. Максимальный производственный эффект определяется критерием оптимизации, который и определяет целевую функцию.

Наиболее типичными задачами, для решения которых используют симплекс-метод, являются: оптимальное планирование на предприятиях (планирование ассортиментного выпуска продукции), оптимальный набор исходного сырья, эффективное использование сырьевых, материальных, трудовых, финансовых и энергетических ресурсов, задачи оптимизации организации производства (транспортная задача).

Оптимизация производственной программы (ассортиментные задачи) на предприятиях представляют собой группу задач, в которых определяют производственную программу с учетом влияния на предприятия внутренних факторов (возможностей оборудования, лимитов сырья, трудовых факторов) и некоторых внешних требований (спрос по товарной продукции в целом или отдельных ии ассортиментных групп и видов, средней цены ассортимента, который выпускается и т.д.).

Основные этапы постановки и решения задачи оптимизации производственной программы:

1) построение экономико-математической модели: сбор информации, подготовка ее для построения модели; выбор критерия оптимизации; выбор ограничений и построение их в общем виде; аналитический и табличный вид модели с реальными коэффициентами;

2) нахождение оптимального решения задачи;

3) анализ результатов решения и практические рекомендации.

В оптимальном плане выпуска продукции выбор критериев оптимизации осуществляется в соответствии с целью решения задачи. Критерием оптимизации могут быть разные стоимостные и натуральные показатели. Кроме функции цели, в модели используются ограничения, так как ресурсы, которыми располагает предприятие, в большинстве случаев ограничены, а также ассортиментный выпуск должен рассчитываться с учетом спроса на продукцию. Ограничения избираются в зависимости от ресурсов, которые используются для выпуска производственной программы предприятия.

Эффективность задачи и оптимальность полученного ассортимента оценивается с помощью систем экономических показателей (изменение объемов производства продукции в натуральном и стоимостном выражении, снижение затрат на производство продукции, увеличение прибыли и рентабельности, уменьшение затрат на 1 руб., Использование сырья и т.д.).

Теория игр изучает количественные закономерности в конфликтных ситуациях. Основной целью теории игр является выработка или количественное обоснование рекомендаций по выбору наиболее рационального решения в конфликтных ситуациях. В экономических исследованиях конфликтными ситуациями называются такие ситуации, когда возникает необходимость выбора рационального решения из двух или более взаимоисключающих вариантов.

Теория статистических решений, которая использует методы изучения процессов и явлений, которые очень подвергаются воздействию случайных, неопределенных факторов, в основе данной теории составляет теория вероятности.

Теория массового обслуживания, изучает закономерности процессов массового обслуживания и на их основе разрабатывает эффективные методы управления системами обслуживания. Методы теории массового обслуживания позволяют рационально организовать процесс обслуживания и обеспечить наиболее эффективное функционирование системы массового обслуживания (сокращение времени ожидания обслуживания, снижение затрат на обслуживание). Основу теории массового обслуживания составляют теория вероятности и математическая статистика.

Дерево принятия решений (также могут называться деревьями классификаций или регрессионного деревьями) - используется в области статистики и анализа данных для прогнозных моделей. Структура дерева содержит следующие элементы: "листья" и "ветви". На ребрах («ветвях») дерева принятия решения записаны атрибуты, от которых зависит целевая функция, в "письме" записаны значения целевой функции, а в других узлах - атрибуты, по которым различаются случаи. Чтобы классифицировать новый случай, надо спуститься по дереву до листа и выдать соответствующее значение. Подобные деревья решений широко используются в интеллектуальном анализе данных. Цель состоит в том, чтобы создать модель, которая прогнозирует значение целевой переменной на основе нескольких переменных на входе.

Каждый лист представляет собой значение целевой переменной, измененной в ходе движения от корня по листу. Каждый внутренний узел соответствует одной из входных переменных. Дерево может быть также "изучено" разделением выходных наборов переменных на подмножества, основанные на тестировании значений атрибутов. Это процесс, который повторяется на каждом из полученных подмножеств. Рекурсия завершается тогда, когда подмножество в узле имеет те же значения целевой переменной, таким образом, оно не добавляет ценности для предсказаний. Процесс, идущий "сверху вниз", индукция деревьев решений (TDIDT), является примером поглощающего "жадного" алгоритма, и на сегодняшний день является наиболее распространенной стратегией деревьев решений для данных, но это не единственная возможная стратегия. В интеллектуальном анализе данных, деревья решений могут быть использованы в качестве математических и вычислительных методов, чтобы помочь описать, классифицировать и обобщить набор данных, которые могут быть записаны следующим образом:

Зависимая переменная Y является целевой переменной, которую необходимо проанализировать, классифицировать и обобщить. Вектор х состоит из входных переменных Х1, x2, х3 и т.д., которые используются для выполнения этой задачи.

В анализе решений "дерево решений" используются как визуальный и аналитический инструмент поддержки принятия решений, где рассчитываются ожидаемые значения (или ожидаемая полезность) конкурирующих альтернатив.

Дерево решений состоит из трех типов узлов.

1. Узлы решение - обычно представлены квадратами.

2. Вероятностные узлы - представляются в виде круга.

3. Замыкающие узлы - представляются в виде треугольника.

На рис. 4.1, представленном ниже, дерево решений следует читать слева направо. Дерево решений не может содержать в себе циклические элементы, то есть каждый новый лист впоследствии может только расщепляться, отсутствуют сходятся пути. Таким образом, при конструировании дерева вручную, мы можем столкнуться с проблемой его размерности, поэтому, как правило, дерево решения мы можем получить с помощью специализированных программ. Обычно дерево решений представляется в виде символической схемы, благодаря которой его проще воспринимать и анализировать.

Рис. 4.1. дерево решений

Деревья решений, используемые в Data Mining, бывают двух основных тылов:

Анализ дерева классификации, когда прогнозируемый результат является классом, к которому относятся данные;

Регрессивный анализ дерева, когда прогнозируемый результат можно рассматривать как действительное число (например, цена на дом, или продолжительность пребывания пациента в больнице).

Упомянутые выше сроки впервые были использованы Брейман и др. Перечисленные типы имеют некоторые сходства, а также некоторые различия, такие, как процедура, используемая для определения, где разбивать. Некоторые методы позволяют построить более одного дерева решений:

Дерево решений "мешок", наиболее раннее дерево решений, строит несколько деревьев решений, неоднократно интерполирующая данные с заменой, и деревья голосований для прогноза консенсуса Случайный классификатор "лесной" использует ряд деревьев решений, с целью улучшения ставки классификации;

"Повышенные" дерева могут быть использованы для регрессивного типа и классификации типа проблем.

"Вращение леса» - деревья, в которых каждое дерево решений анализируется первым применением метода главных компонент (РСА) на случайные подмножества входных функций.

Общая схема построения дерева принятия решений по тестовым примерам выглядит следующим образом (по алгоритму рис. 4.2):

Рис. 4.2. Алгоритм построения дерева решений

Основной вопрос: как выбирать очередной атрибут? Есть разные способы выбирать очередной атрибут:

Алгоритм IDЗ, где выбор атрибута происходит на основании прироста информации (англ. Gain), или на основании коэффициент Джини.

Алгоритм С4.5 (улучшенная версия ID3), где выбор атрибута происходит на основании нормализованного прироста информации (англ. Gain Ratio).

Алгоритм CART и его модификации - IndCART, DB-CART.

Автоматический детектор взаимодействия Хи-квадрат (сил). Выполняет многоуровневый разделение при расчете классификации деревьев.

MARS: расширяет дерева решений для улучшения обработки цифровых данных.

На практике в результате работы этих алгоритмов часто получаются слишком детализированы дерева, которые при их дальнейшем применении дают много ошибок. Это связано с явлением переобучения. Для сокращения деревьев используется отсечение ветвей (англ. Pruning).

Регулировка глубины дерева - это техника, которая позволяет уменьшать размер дерева решений, удаляя участки дерева, которые имеют небольшой вес.

Один из вопросов, который возникает в алгоритме дерева решений - это оптимальный размер конечного дерева. Так, небольшое дерево может не охватить ту или иную важную информацию о выборочном пространства. Тем не менее, трудно сказать, когда алгоритм должен остановиться, потому что невозможно спрогнозировать, добавление которого узла позволит значительно уменьшить ошибку. Эта проблема известна как "эффект горизонта". Тем не менее, общая стратегия ограничения дерева сохраняется, то есть удаление узлов реализуется в том случае, если они не дают дополнительной информации.

Необходимо отметить, что регулирование глубины дерева должно уменьшить размер учебной модели дерева без уменьшения точности ее прогноза или с помощью перекрестной проверки. Есть много методов регулирования глубины дерева, которые отличаются измерением оптимизации производительности.

Сокращение дерева может осуществляться сверху вниз или снизу вверх. Сверху вниз - обрезка начинается с корня, снизу вверх - сокращается число листьев дерева. Один из самых простых методов регулирования - уменьшение ошибки ограничения дерева. Начиная с листьев, каждый узел заменяется на самый популярный класс. Если точность предсказания не влияет, то изменение сохраняется.

При принятии решений менеджер может использовать один из приведенных выше методов. Лучшие решения принимаются группой. Эффективность групповых решений во многом зависит от руководителя. С учетом умений, характера и настроения руководителя, его педагогических способностей, внимания к людям и других качеств психологи выделяют пять типов руководителей: диктатор, демократ, пессимист, организатор и манипулятор.

Метод, основанный на научно-практическом подходе, требует использования современных технических средств и прежде всего электронно вычислительной техники.

В целом проблема выбора руководителем решения - одна из важнейших в современной науке и практике управления.

Наиболее общий подход к описанию задач принятия решений (ЗПР) формулируется «на языке систем». Приведем системное описание задач принятия решений.

Пусть имеется некоторая система, в которой выделена управляемая подсистема (объект управления), управляющая подсистема и среда. Управляющая подсистема может воздействовать на объект управления с помощью альтернативных управляющих воздействий (рис. 1.2). Состояние объекта управления определяется двумя факторами: выбранным управляющим воздействием со стороны управляющей подсистемы и состоянием среды. Принципиальным является следующее обстоятельство: управляющая подсистема не может воздействовать на среду и, более ��ого, она, как правило, не имеет полной информации о наличном состоянии среды.

Управляющая подсистема является целенаправленной, причем цель управляющей подсистемы состоит в том, чтобы перевести объект управления в наиболее предпочтительное для себя состояние (или в некоторое подмножество предпочтительных состояний). Для достижения этой цели управляющая подсистема может использовать любое находящееся в ее распоряжении управляющее воздействие.

Выбор управляющей подсистемой конкретного управляющего воздействия (выбор допустимой альтернативы) называется принятием решения.

При принятии решения основной задачей является нахождение оптимального решения. На содержательном уровне оптимальное решение может быть определено как наилучшее в следующем смысле: оно в наибольшей степени соответствует цели управляющей подсистемы в рамках имеющейся у ней информации о состоянии среды.

Математическая модель принятия решений

Математическая модель принятия решения представляет собой формализацию той схемы, которая приведена в системном описании ЗПР. Для построения математической модели принятия решения необходимо задать следующие три множества:

X – множество допустимых альтернатив,

Y – множество возможных состояний среды,

А – множество возможных исходов.

В системном описании ЗПР альтернативы интерпретируются как управляющие воздействия, а исходы – как состояния управляемой подсистемы.

Варианты действий принято называть альтернативами.

Так как состояние управляемой подсистемы полностью определяется выбором управляющего воздействия и состоянием среды, то каждой паре (х, у) , гдех ∈X иу ∈Y , соответствует определенный исхода ∈А . Другими словами, существует функцияF :X хY →А , которая называется функцией реализации. Функция реализации каждой паре вида (альтернатива, состояние среды) ставит в соответствие определяемый ею исход.

Набор объектов (X ,Y ,A , F ) составляет реализационную структуру ЗПР. Реализационная структура отражает связь между выбираемыми альтернативами и исходами.

Реализационная структура задачи принятия решения составляет ее первую компоненту. Вторая компонента ЗПР называется ее оценочной структурой. Если реализационная структура определяет возникающий результат, то оценочная структура указывает оценку этого результата с точки зрения принимающего решение.

В математической модели ЗПР оценочная структура может задаваться различными способами.

Например, если принимающий решение может оценить эффективность (равнозначные по смыслу термины: «полезность», «ценность») каждого исхода а ∈А некоторым числомφ (а ), то оценочная структура задается в виде пары (A ,φ ), гдеφ :А → R ; при этомφ называется оценочной функцией.

Другой способ задания оценочной структуры состоит в указании отношения предпочтения исходов, что сводится к перечислению пар исходов a 1 ,a 2 , для которыха 1 лучше, чема 2 (это записывается в видеa 1 a 2 и читается «а 1 почтительней, чема 2 ».

Еще один способ задания оценочной структуры – разбиение множества исходов А на два класса:А 0 – класс «плохих» исходов иА 1 – класс «хороших» исходов.

Существуют и другие способы задания оценочной структуры. Наиболее распространенным является задание оценочной структуры в виде оценочной функции φ .

Целевая функция f есть композиция функции реализацииF и оценочной функцииφ , т.е.f =φ ○F . Таким образом,f (x,y )=φ (F (x,y )). Целевая функция имеет следующий содержательный смысл: числоf(x,у) есть оценка полезности (с точки зрения принимающего решение) того исхода, который возникает в ситуации, когда он выбирает альтернативух , а среда принимает состояниеу .

Замечание. В некоторых задачах принятия решения оценка исхода характеризует его в негативном смысле, являясь выражением затрат, убытков и т.п. В этом случае целевая функция f называется функцией потерь.

Учитывая, что постановки задач, а также применяемые методы их решения, существенно зависят от степени неопределенности параметров анализируемой системы и состояния внешней среды, то общепринятой является классификация задач ТПР, представленная на рис. 1.3.

Рис. 1.3.

Задачи первого типа характеризуются тем, что все параметры анализируемой системы и внешней среды являются детерминированными, а искомые решения – непрерывными либо дискретными. Наиболее известными и распространенными из задач с дискретными значениями переменных являются: задача коммивояжера; задача о минимальном покрытии графа; минимаксная задача о назначениях. В частности, задача выбора состава тиражируемых пакетов программ, соответствующих требованиям пользователей к функциональным возможностям системы, сводится к задаче о минимальном покрытии графа, а задача конструирования топологии локальной вычислительной сети (ЛВС) кольцевой структуры стандарта Token Ring – к известной задаче коммивояжера.

Для решения этих задач используются алгоритмы Гомори, ветвей и границ, динамического программирования, эвристические алгоритмы, методы случайного поиска и др. В последнее время применяются алгоритмы отжига, генетические алгоритмы и нейронные сети.

Второй тип задач относится к задачам принятия решений в условиях риска и характеризуется тем, что для ряда параметров неизвестны точные значения, а определены диапазоны их изменений и на каждом из диапазонов заданы плотности распределения случайных величин. Необходимо выбрать такое решение, которое для заданных распределений вероятностей обеспечивает экстремум показателя эффективности. В качестве показателя эффективности выбирается либо среднее значение, либо комбинация среднего значения и дисперсии. Наиболее известными задачами второго типа являются задачи управления запасами, управления Марковскими процессами, анализа и синтеза систем массового обслуживания и др.

Третий тип задач характеризуется тем, что для каждого из параметров заданы возможные дискретные значения и для них определены значения показателя эффективности, соответствующие каждому из вариантов альтернативных решений, т.е. исходная задача представляется в виде таблицы, в которой строки соответствуют альтернативным решениям, а столбцы – дискретным значениям параметров.

Необходимо отметить, что в задачах этого типа отсутствует информация о распределении вероятностей для значений параметров.

Четвертый тип задач характеризуется тем, что принятие решений системным аналитиком производится в условиях конкуренции противоборствующих сторон. В качестве схемы принятия решений используется игровая модель.

Необходимо отметить, что перечисленные типы задач могут быть как однокритериальными, так и многокритериальными. В многокритериальных задачах аналитик при выборе альтернативы стремится улучшить значения двух и более показателей.

В практической деятельности специалистов по БИ важную роль играет имеющаяся математическая база. Именно благодаря различным методам количественного анализа, построения экономико-математических моделей, анализа и синтеза на основе системного подхода возможно грамотное управление как отдельными сферами профессиональной деятельности, так и целыми предприятиями, отраслями и даже странами. Особое значение при этом имеют оптимизация и принятие решений, на что и направлены многие существующие методы и инструменты.

Математические методы всегда играли ведущую роль в решении различных прикладных задач бизнеса. Именно благодаря им изучались общие закономерности процессов управления и передачи информации. Это осуществлялось на основе изучения множества теорий, принципов и концепций: теории автоматов, теорий принятия решений и оптимального управления, теории алгоритмов, теории обучающихся систем и многих других. С развитием ИТ математическая база не только стала использоваться для дальнейшей автоматизации моделей и организации вычислений, но и обеспечила возможности для развития технологий в новом направлении.

Например, теория автоматов позволяет представлять вычислительные машины в виде математических моделей и, таким образом, лежит в основе различных цифровых технологий и ПО, применяясь при разработке языков программирования, компиляторов и пр.

В тесной взаимосвязи с теорией автоматов находится теория алгоритмов, так как преобразуемая автоматами информация для каждого момента времени позволяет задавать шаги алгоритма. Современная теория алгоритмов также занимается проблемами формулировки различных задач в терминах формальных языков, вычисляет трудоемкость задач и потребность алгоритма в ресурсах, осуществляет поиск критериев качества алгоритмов.

Среди теорий математики и кибернетики крайне важной является теория принятия решений. Данная область исследований изучает закономерности выбора того или иного альтернативного варианта решения, а также занимается поиском наиболее выгодного из них. В числе некоторых из актуальных вопросов в современной теории принятия решений - теория коллективного выбора, например, в части анализа поведения банков или анализа распределения влияния участников какой-либо организации.

Наиболее близкой к теории принятия решений является теория оптимального управления. Ее отличает работа с иерархическими многоуровневыми системами (например, различного масштаба компаниями), для управления которыми требуются специальные методы анализа, позволяющие сформировать многоцелевые и многофакторные системы управления. Системы переводятся в новое состояние по конкретному критерию оптимальности (отсюда название теории), которым может быть минимизация трудозатрат, денежных и прочих ресурсов и пр. В случае если исходных данных для решения задачи недостаточно, а традиционные количественные методы неприменимы, используются также различные алгоритмы на основе теории нечетких множеств и теории принятия решений в условиях неопределенности. Их крайняя реализация - класс эвристических методов, представляющих собой неформализованные методы, основанные на аналогиях, прошлом опыте, экспертных оценках и прочей информации.

Соответственно для понимания и применения всех этих теорий необходим аппарат математического анализа, линейной алгебры, нелинейного программирования, теории вероятностей, комбинаторики, математической статистики, эконометрики и многие другие теоретико-прикладные дисциплины.

Существует множество областей деятельности, в которых широко используются комбинации вышеописанных дисциплин. Одной из наиболее масштабных областей является исследование операций, к которому относятся теория игр и сетевые методы планирования, теория массового обслуживания, теория расписаний, методы искусственного интеллекта и др. Системный подход в данном случае является основополагающим методологическим принципом в исследовании операций. Благодаря ему формируется единое целостное видение проблемы, для которой составляется определенная математическая модель, описывающая в математических терминах поведение системы/процесса/операции/объекта и исследуемая в дальнейшем. Возможностей построения моделей при этом существует огромное множество: линейные и нелинейные, детерминированные или стохастические, статические или динамические, дискретные или непрерывные, структурные или функциональные (так называемые модели черного ящика). Так, совместное использование теории систем массового обслуживания и математической теории расписаний представляет собой эффективный математический аппарат моделирования организации обслуживания и планирования обработки вычислительных задач в многомашинных и мультипроцессорных вычислительных системах.

Для поддержки математического моделирования с помощью компьютерных систем созданы такие известные программные решения, как Mathematica, Mathcad, MATLAB, AnyLogic.

Как уже было сказано, во многих отраслях деятельности - от биологии до строительства или экономики - важен поиск наиболее эффективных и оптимальных решений. Ярким примером являются геоинформациопные системы, которые благодаря заложенным в них моделям способны вычислить кратчайший маршрут для объезда пробок или найти ближайший кинотеатр. Среди теорий и методов, благодаря которым создание таких моделей стало возможным, - теория графов. В ее основе - представление различных объектов, событий и явлений в виде множества вершин (узлов) и ребер, соединяющих их. В случае геоинформационной системы различные дома и учреждения могут рассматриваться как вершины графов, а дороги, линии электропередач и прочие сети - как ребра графов.

Теория графов, применяемая в химии, позволяет вычислить число возможных изомеров различных органических соединений, а в коммуникационных системах - осуществлять маршрутизацию данных. Подобная же логика может быть применена и в других областях - при календарном планировании производственных процессов, расчете сетей массового обслуживания, анализе продуктовых потоков и в других целях.

Для более наглядного представления о самих методах, применяющихся для решения подобных задач, рассмотрим известную задачу коммивояжера. Ее суть - в поиске оптимального пути (которым может быть самый быстрый, самый короткий, самый дешевый маршрут) через несколько городов с заходом в них минимум один раз и конечным возвратом в исходный город. Разумеется, первым вариантом решения задачи будет ручной перебор всех возможных маршрутов. Однако в случае, когда количество вершин графа (= городов в маршруте) будет исчисляться десятками и сотнями, эффективность подобных вычислений крайне сомнительна. Поэтому оптимальная вариация данного метода - неявный перебор, или метод ветвей и границ. Он основан на идее последовательного разбиения множества допустимых решений, элементы которого на каждом шаге анализируются на предмет содержания в них оптимального решения. В случае поиска минимума (минимальное время, минимальное расстояние и т.д.) для подмножества нижняя оценка целевой функции сравнивается с верхней оценкой функционала. Алгоритм завершает работу, когда просмотрены все элементы разбиения и найдено решение с самой минимальной верхней оценкой.

Существуют также многие другие методы поиска решения: различные виды переборов, «метод ближайшего соседа», «метод имитации отжига», «алгоритм муравьиной колонии», «метод эластичной сети», которые различаюгся степенью точности, трудоемкостью и, конечно, применяемым математическим аппаратом.

Например, известный алгоритм Дейкстры, определяющий кратчайшее расстояние от одной выделенной вершины до всех остальных вершин, использует протоколы маршрутизации SSPF и IS-IS.

Существует также другой класс задач, относящихся к функциям нескольких переменных, для которых имеются различные связи и ограничения. Их рассмотрение проводится численными методами в рамках раздела нелинейного программирования. Например, если для промышленного предприятия целевой функцией будет являться функция прибыли, то ограничениями в таком случае станут изменяющиеся по определенным принципам ресурсы, рабочая сила, постепенно снижающаяся производительность оборудования и пр. Однако данная задача актуальна и для естественных наук, бизнеса, экономики, вычислительной техники и других сфер.

Большинство из вышеупомянутых задач невозможно рассматривать вне привязки еще к одному важнейшему разделу математики и статистики - теории вероятностей. Она изучает случайные явления, события и величины, их свойства и закономерности и строит функции распределения возможных значений величин. Примером использования теории может быть простейший расчет планового числа бракованных изделий на производстве исходя из вероятности их появления при различных условиях и размеров партии изделий.

Теория случайных процессов (броуновское движение, случайные блуждания, полеты Леви) эффективно используется для моделирования колебаний на фондовых рынках.

Такие сферы, как создание биржевых торговых роботов или оценка кредитных рисков, моделирование химических процессов, разработка систем компьютерного зрения или даже таргетинг рекламы, используют именно методы теории вероятностей. Разумеется, в зависимости от имеющихся данных и применяемых инструментов для каждой задачи будут также меняться трудоемкость решения и степень погрешности результата.

Другим примером для теории вероятностей, уже напрямую связанным с областью комбинаторики, являются криптоанализ и шифрование данных, например, взлом паролей через сравнение с наиболее стандартным списком кодов и затем определение вероятности размещения определенных элементов кода в конкретной последовательности через семантический анализ или анализ расположения различных клавиш на устройстве ввода. Комбинаторика является важной составляющей математического аппарата БИ. Она изучает различные дискретные объекты и их множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления) и тесно связана с теорией графов, которую некоторые исследователи даже причисляют к одной из областей комбинаторики. Очень многие сферы деятельности покрываются комбинаторными методами - от образования (составление расписания занятий) до военного дела (расположение подразделений), от экономики (анализ вариантов операций с акциями) до азартных игр (и расчета частоты выигрышей).

Наконец, следует сказать еще о такой науке, как математическая статистика, которая в значительной степени опирается на теорию вероятностей. Именно статистика предоставляет методы регистрации, описания и анализа различных экспериментов и наблюдений для дальнейшего построения моделей процессов и явлений. При этом некоторые методы математической статистики направлены исключительно на описание данных, их визуализацию и интерпретацию, другие - на оценку и проверку гипотез. Например, на это направлен факторный анализ, который позволяет изучать взаимосвязи между значениями переменных и выявлять скрытые переменные факторы, создающие корреляции между переменными.

Благодаря кластерному, дискриминантному, корреляционному анализу и другим методам, пришедшим из математической статистики, возможности современных ИС (от пакетов SAS, SPSS, Statistica до модулей ERP/BI и других систем) позволяют осуществлять имитационное моделирование, проводить распознавание образов, аналитическую обработку данных и решать многие другие комплексные задачи работы со сложными системами.

Одним из последних направлений в исследовании сложных динамических систем является синергетика, включающая теорию динамического хаоса, катастроф и бифуркаций, изучающая закономерности сложных неравновесных процессов на основе присущих им принципов самоорганизации. Здесь, прежде всего, следует отметить успехи синергетического подхода в моделировании нелинейной динамики агрегированных рыночных цен и финансовых странных аттракторов, взаимодействий в системе «вирус - антивирус» вычислительных комплексов.

В данном обзоре приведены не все математические методы, которые могут использоваться специалистами БИ. Автор надеется, что коллеги по БИ сделают полный обзор математических методов системного анализа в своих будущих работах.

Таким образом, среди сфер применения системного подхода :

• совершенствование бизнес-процессов через измерение и оценку (внедрение систем менеджмента качества);
• совершенствование системы управления организации;
• оптимизация различных процессов через разработку математических моделей, алгоритмических и программных решений;
• исследование операций при работе в области информационной бизнес-аналитики;
• сценарная оптимизация динамических процессов;
• проектирование и расчет сложных систем.

• По материалам учебника по дисциплине «Моделирование и анализ бизнес-процессов»коллектива авторов (А. И. Громов, В. Г. Чеботарев, Я. В. Горчаков, О. И. Бойко). М.: Изд-воГУ ВШЭ, 2008).

Специалисты по информационным системам считают, что состояние любого объекта управления можно охарактеризовать некоторой неопределенностью, или энтропией (H0 = -logPo), выступающей в роли информационного потенциала, обусловливающего переход системы в другое состояние, т. е. наступление какого-либо события, вероятность которого равна P0 .
В практической деятельности целью всякого управляющего является изменение состояния системы, т. е. оказания воздействия, приведшего ее к новому устойчивому состоянию (событию) Руст, которому будет соответствовать другое значение информационного потенциала (Нуст = -logH^), где Руст - вероятность события от приложенного управляющим воздействия на систему.
Тогда мы можем утверждать, что сущность управления, осуществляемого источником информации (руководителем), можно охарактеризовать некоторым информационным напряжением
(4.11)
P ст
DHопт. _ H0 Hуст.
= = DJ упр 5
P
т. е. DHопт »DJупр.
Таким образом, руководители, занимающиеся производственной деятельностью, являются источником управляющей информации. Это следует понимать таким образом. Руководитель человеко-машинного комплекса или ОТС должен обладать таким потенциалом (источником информационного напряжения), которое равно логарифму отношения вероятности правильно принятого решения (Р0), приводящего к вероятности перехода системы в устойчивое состояние Руст, функционирование которого будет осуществляться без дополнительного воздействия на объект управления. Или, другой пример, пусть проректор по информации является источником управляющей информации для всех вычислительных подразделений, имея информационное напряжение, равное вероятности выполнения плана информатизации УлГТУ без дополнительных средств.
Из вышеприведенного следует, что информационное напряжение, т. е. суть источника АН, может быть как положительным, так и отрицательным. Если Руст = Р0, то напряжение источника равно нулю (АН = 0), и тогда роль руководителя в управлении несущественна, бессмысленна, т. е. он не управляет процессом.
Важно теперь то, что мы можем перейти от содержательного описания процесса управления к математическому, но для этого необходимо выбрать единицу измерения информационного потенциала, отождествляя формальное описание энтропии с информационной энтропией и в зависимости от выбора основания логарифма в (4.11) мы приходим к понятию «информационная энтропия», которую будем измерять в битах.
Многие авторы информационную энтропию отождествляют с термодинамической, что на самом деле соответствует физической реальности. В нашем случае пользоваться для измерения информационного напряжения битами можно только при условии, если использовать двоичные логарифмы, как предлагается в работе . Однако не следует информационное напряжение путать с информацией, которая тоже измеряется в битах, это существенно важно.
Для убедительности сказанного рассмотрим пример. Подсчитаем информационное напряжение, которым обладает система охраны компьютерной техники в лабораториях ИЦ МФ. Пусть важнейшим объектом является информационный сервер МФ, на котором хранится вся информация, и при его разрушении или ликвидации нарушается весь учебный процесс факультета. Предположим, что операцию ликвидации сервера проводят два человека, один из которых при срабатывании сигнализации успел сбежать. В этом случае, не имея возможности задержать обоих похитителей, охранники, не владеющие оперативной связью между собой, захватят одного из похитителей с вероятностью
равной 0,5 (Р0 = 0,5). Если же действия охраны согласованы между собой, то они нейтрализуют этого субъекта с возможной вероятностью, равной 1. Тогда имеем, что АН = log2 = 1 бит. Согласно определению логарифма, получим показательное уравнение вида 2х = 1, принимая х = 0, напряжение источника информации (охраны) составит 1 бит.
Следует указать, что согласно рассмотренному примеру, источник с напряжением 1 бит способен передать сколь угодно большое количество информации объекту управления в зависимости от времени, которым он будет располагать. Также важно отметить, что информационное напряжение источника может изменять во времени свое значение, т. е. знак, если важность достижения цели неодинакова в различные моменты времени. Используя математические выражения, описывающие работу автоматических систем управления , для определения переменного информационного напряжения можно воспользоваться формулой
2
ґр Л
уст
V P0)
1 t
IJ
T
dt = o(AH),
log
(4.12)
AH д =
1 ¦ J dt =
которая выражает среднеквадратическое напряжение o(AH). Для случайных изменений сути сигнала х можно воспользоваться выражением
? ? AH0 = Jf (x)AH ¦ dx; A^ = Jf (x)AH2 ¦ dx,
-оо
-оо
где АН0 и АНД - средние и действующие значения сущности сигнала; f(x) - плотность распределения вероятности Р события.
Если AH = A sin
v T)
, то согласно (4.12) действующее значение переменно-
A
го информационного напряжения составляет AH д = -=, что в 1,5 раза меньше
V2
максимального мгновенного значения напряжения.
Эта информация, выданная источником управления, т. е. управляющим, поступает к исполнительным органам («активным элементам») информационной нагрузкой источника, а затем по цепи обратной связи возвращается снова в источник. Обратную связь обеспечивают те же элементы, что и прямую.
Если исполнительные органы являются пассивными и не обладают памятью, они характеризуются только информационным сопротивлением (IR). Следует отметить, что IR - это время (t), т. е. время исполнения управляющего ука-зания.
Более точно IR системы равно времени (tR) исполнения задания от момента получения указания до поступления доклада о его выполнении. При этом время
(tR) для принятия самого решения, т. е. осмысления формулировки, является
внутренним информационным сопротивлением (R В нр) источника информации
(управляющего), которое является обратным пропускной способности системы (Imax) источника информации. И, следовательно, для систем без памяти имеет место информационный закон, аналогичный закону Ома для электрической цепи
ii = (4.13)
FH
где FH = Fn - Бвт - информационное сопротивление нагрузки; Бп и F^ - информационное сопротивление соответственно всей цепи и внутреннее сопротивление источника; I - информационный поток (ток) в цепи нагрузки.
При однократном достижении цели сквозь систему управления проходит информация (1ц), численно равная напряжению источника информации
I, = IFh = DH = DI упР. (4.14)
При длительной работе в течение времени (t) через данную цепь протекает информация
t t DH
1 УПР = J Idt = J-dt. (415)
0 0 Гн
Важно понимать, что эффективность управления зависит не от количества информации и даже не от качества, а насколько она способствует достижению цели, т. е. от ее ценности. Таким образом, ценность информации в первую очередь необходимо связывать с целью, с точностью формулировки задачи. Под качеством информации мы будем понимать степень ее искажения, которая зависит от элементов информационной цепи.
Таким образом, мы можем иметь большой поток информации, но если она не способствует достижению цели и не является точной, например, из-за искажения, поэтому и не будет иметь ценности.
На основании данной методики расчета количества информации, циркулирующей в информационной цепи, появляется также возможность выполнения оценок качества принимаемых решений, что позволяет использовать классические математические процедуры оценивания для решения задач оптимизации.
Подобные задачи рассматриваются в работе .
Известно, что любая задача становится более конкретной, когда она выражена в математической форме. Чтобы поставить математическую задачу, отражающую сущность производства информационных работ, следует к необходимым условиям, изложенным выше, прибавить достаточные, а именно:
уметь пользоваться методикой информационной оценки в сложившейся ситуации;
иметь управляющего, способного нейтрализовать дестабилизирующие факторы, влияющие на данную вероятностную систему.
В работе показано, как вероятностные динамические задачи представляются в виде детерминированных, в рамках которой исследуемые объекты описываются функциями многих переменных, а варьируемые параметры являться их аргументами. Таким образом, принимая ИЦ за вероятностную динамическую систему, его модель можно представить в виде функций многих переменных х = х(х1, ..., хт), где х = f(I); I - информация.
В задачах, не требующих точного решения, можно воспользоваться приближенной оценкой состояния объекта, принимая при этом во внимание только наиболее важный выходной показатель, например, пропускную способность f(x), т. е. эффективность. Тогда, обозначая остальные параметры через функцию ф8(х), s = 1, 2, ..., m, мы приходим к задаче оптимального выбора вектора параметров х. Эта задача представляет собой вычислительный алгоритм, записываемый в виде процедуры оценивания и оптимизации:
max f (x),
(4.16)
>
xeS
S{x: x є X с Rn, js(x) Нам требуется максимизировать показатель качества f(x) на множестве S, заданной системой ограничений, которые сформулированы выше. Здесь элемент х принадлежит множеству S, если хєХ, где Х - некоторое подмножество n-мерного пространства Rn, при выполнении неравенства ф3(х) Обычно множество Х определяет ограничения на допустимые значения варьируемых параметров х типа условий неотрицательности xj>0 или принадлежности интервалу xj А неравенства ф3(х) Существенно важно, что с математической точки зрения сформулированную задачу можно также трактовать как процесс планирования в условиях неопределенности для динамической системы. Тогда она сводится к решению вероятностной задачи линейного программирования, которая с учетом (4.16) записывается в более удобной форме:
max MюCj(w)y L
w
(4.17)
j=1
S^x: xє X,P\ ?asj(w)xj Ls,S = 1,2,...,m.
sJw j s J=!
где Mw - операция усреднения случайной величины w, а Y есть функция f(xj), характеризующая важнейший показатель анализируемой системы, например, пропускную способность комплекса или его эффективность. Оператор усреднения в общем виде записывается в виде
Mw{y(x,w)}=Y(x),
который определяет функцию Y(x) как математическое ожидание случайного вектора y(x,w). Функция Y(x), заданная случайными величинами js(x,w), является вероятностной.
В формулах (4.16) и (4.17) функции f(x) и ф3(х) были заданы алгоритмически, а не аналитически, поэтому мы оперируем случайными величинами, которые математически обозначаются в виде f(x, w) и js(x, w), так что в более строгой форме имеем
f(y)= Mw{f(y,w)},
js(x)= Mw{js(x,w)}. (4.18)
Следует указать, что Y - детерминированная величина, а q(w) является коэффициентом целевой функции.
Условия аВсе случайные параметры, входящие в (4.17), позволяют учесть колебания (отклонения) затрат (z) на выпуск продукции (y) c учетом несвоевременной поставки комплектующих изделий, ЗИПа, программно-технического обеспечения и прочих случайных факторов, в условиях которых функционирует система (вычислительный комплекс).
Чтобы удовлетворить условия задач (4.16) и (4.17), необходимо подобрать
n
вектор х так, чтобы случайное неравенство вида 2 asj(w) ? bs(w) выполнялось
j=1
с вероятностью, равной Ls, и тогда задачу (4.17) можно представить в более простом виде
f(y, w) = 2 Cj(w)y,
j=1
(4.19)
js (x, w) = Ls - 1
j=1
где Ls(w) характеризует совокупность случайных факторов, например, зависящих от поставщиков и потребителей.
Таким образом, рассматриваемая задача относится к разряду вероятностных, потому что условия, в которых существует и функционирует комплекс,
являются неопределенными и зависимыми от многих непредвиденных обстоятельств, не известных непосредственному руководству.
Сформулированная и поставленная задача позволяет связать все важнейшие параметры в систему и учесть случайные факторы, которые в реальной практике существуют всегда.
Данная постановка задачи позволяет отвлечься от содержательной формулировки и перейти к построению математической модели управления, используя теорию автоматического регулирования .
Чтобы практически решить эту задачу управления с заданным качеством выпускаемой продукции, в нее необходимо ввести процедуры принятия оперативного решения, которые должны быть легко адаптированы в целевую функцию. При этом параметры x;=f(I), т. е. выполнение плана x;, можно заменить на количество переработанной информации (I), используя информационные цепи.
Так как решение общей математической задачи управления в рамках данной работы не представляется возможным из-за ее сложности, поэтому мы ее будем представлять в виде отдельных простейших подзадач.
Такая процедура упрощения сложной задачи на практике достигается за счет предварительного согласования отдельных подзадач с непосредственными лицами высшего звена управления, в компетенцию которых относится их решение. Тем самым мы приводим многофакторную задачу к одношаговой, детерминированной. Но, с другой стороны, т. к. в одношаговых задачах принятия решения определяется не величина и характер управляющего воздействия (Н), а непосредственное значение переменной состояния 0 объекта, которое обеспечивает достижение стоящей перед ИК цели, поэтому управляющего высшего уровня не интересует, каким способом будет решена данная задача. Ему важен конечный результат. Следовательно, для конкретного руководителя нижнего уровня задача принятия решения будет считаться заданной, если в нее включены все необходимые параметры, дающие возможность произвести оценку состояния объекта на данный момент времени (t). Тогда в данном конкретном случае задача принятия решения для него будет считаться детерминированной при условии, если определены пространство состояния природы 0 с распределением вероятностей ^(u) для всех ue 0, пространство решений х и критерий качества принятого решения. Взаимосвязь между этими параметрами будем называть целевой функцией (Fq).
Целевую функцию F4, выражающую в явном виде цель, можно рассматривать как одну из важнейших выходных величин объекта управления и обозначим ее через (g). Тогда целевая функция является скалярной величиной, зависящей от состояния природы u и от состояния объекта управления 0. В этом случае сформулированную задачу в математической форме можно представить в виде
g = 0(x, u).
Это и есть математическая модель одношаговой детерминированной задачи принятия решения. Она представляет собой тройку взаимосвязанных параметров, которые можно записать в виде следующей зависимости:
G=(x, 0, q), (4.20)
где q - скалярная функция, определяемая на прямом произведении множеств (ХХ0), тогда G=f(g).
*
Решение этой задачи состоит в нахождении такого х є Х, которое обращает в максимум функцию g, т. е. удовлетворяет условию
X = {x є X: Q(x,u) = max}. (4.21)
Здесь Х=х1, х2, ..., хт - перечень плановых мероприятий ИЦ, при m?N, где N - переменные величины - число плановых мероприятий(задач). Существует несколько методов решения одношаговой задачи.
Представляя переменную Х как количество переработанной информации I в процессе производства вычислительных работ, мы можем записать, что х=Щ), и воспользоваться информационным способом оценки принятия решения. Поэтому при необходимости имеем право произвести оценку деятельности информационного центра в битах.
Опираясь на системные принципы, мы пытались формализовать рутинную работу руководителя информационного подразделения и перевести на научную основу, представив ее в виде задачи управления, с целью повышения оперативности принятия решения в неопределенных условиях.